グラフの最小カット(the Minimum Cut)を求める

ECLiPSe CLPでグラフの最小カットを求める方法を説明します。

グラフのカットというのは、最大流問題で用いた、エッジに許容流量の設定のあるスタートとゴールのノードを持つ有向グラフのすべてのノードを、「スタート側」「ゴール側」の2種類のノードに分けることをいいます。

ノードをどのように分けてもよいので、カットの仕方には複数通りの方法があります。
グラフに|V|個のノードがあったとして、スタートとゴールのノードのみどちら側か決まっているので　2^(|V|-2)通り　のカットの方法があります。

最小カットというのは、複数あるカットのうち、「カット容量が最小となるもの(そしてその容量)」のことを言います。
カット容量とは、ノードとノードを結ぶすべてのエッジのうち「スタート側に属するノード」から「ゴール側に属するノード」の方向のエッジの許容流量の総計のことを言います（スタート側→スタート側、ゴール側→ゴール側、ゴール側→スタート側 のエッジの容量は数えない）

最小カット容量は、スタート→ゴールの流れのボトルネックのようなもので、この値がそのまま最大流と等しくなるとのことです。
（最小カット容量＝最大フロー）

前置き長くなりましたが上記最小カットを求めます。
library(all_min_cuts) の述語 all_min_cuts/8 を使います。

all_min_cuts(+Graph, +CapacityArg, +SourceNode, +SinkNode, -MaxFlowValue, -MaxFlowEdges, -MinCuts, -MinCutEdges)

Grapha – グラフ
CapacityArg – エッジ e(_,_,A) のAのどこが最大流量か設定する
SourceNode – スタートのノード番号
SinkNode – ゴールのノード番号
MaxFlowValue – 最大フロー(=最小カット容量)(戻り値)
MaxFlowEdges – 「フロー　- エッジ」のリスト(戻り値)
MinCuts – 最小カット容量をもつカットのリスト（複数あれば複数）(戻り値)
MinCutEdges – すべての最小カット組（それぞれのカット組はスタート側-ゴール側を分けるエッジのリスト）(戻り値)

①以下の図でノード１がスタート、ノード7がゴールとして最小カットを求めます。

プログラム：

:-lib(graph_algorithms).
:-lib(all_min_cuts).

solve(MaxFlowValue, MaxFlowEdges, MinCuts, MinCutEdges):-
	make_graph(
		7,
		[ 
			e(1,2,6),
			e(1,3,6),
			e(2,3,1),
			e(2,4,3),
			e(2,5,3),
			e(3,5,7),
			e(4,5,1),
			e(4,7,1),
			e(5,7,4),
			e(5,6,5),
			e(6,7,4)
		],
		Graph),
	all_min_cuts(Graph, 0, 1, 7, MaxFlowValue, MaxFlowEdges, MinCuts, MinCutEdges).

実行結果（見やすいように手で改行入れてます）：

?- solve(MaxFlowValue, MaxFlowEdges, MinCuts, MinCutEdges).
MaxFlowValue = 9
MaxFlowEdges = 
[
4 - e(6, 7, 4), 
4 - e(5, 7, 4), 
4 - e(5, 6, 5), 
1 - e(4, 7, 1), 
1 - e(4, 5, 1), 
4 - e(3, 5, 7), 
3 - e(2, 5, 3), 
2 - e(2, 4, 3), 
4 - e(1, 3, 6), 
5 - e(1, 2, 6)
]
MinCuts = [[2, 5, 3, 6, 1, 4]]
MinCutEdges = 
[
[
e(4, 7, 1), 
e(6, 7, 4), 
e(5, 7, 4)
]
]
Yes (0.00s cpu)

最小カットは９で
ノード　4-7、6-7、5-7　のエッジがスタート側とゴール側を分けるエッジのようです。

②以下のグラフで最小カットを求めます。

プログラム（便宜的にスタートノードとゴールノードをそれぞれノード5、ノード6に置き換え）：

:-lib(graph_algorithms).
:-lib(all_min_cuts).

solve(MaxFlowValue, MaxFlowEdges, MinCuts, MinCutEdges):-
	make_graph(
		6,
		[ 
			e(5,1,3),
			e(5,2,10),
			e(1,4,4),
			e(1,3,4),
			e(2,1,7),
			e(2,3,2),
			e(4,2,3),
			e(4,3,8),
			e(4,6,3),
			e(3,6,8)
		],
		Graph),
	all_min_cuts(Graph, 0, 5, 6, MaxFlowValue, MaxFlowEdges, MinCuts, MinCutEdges).

実行結果：

?- solve(MaxFlowValue, MaxFlowEdges, MinCuts, MinCutEdges).
MaxFlowValue = 10
MaxFlowEdges = 
[
	7 - e(5, 2, 10), 
	3 - e(5, 1, 3), 
	3 - e(4, 6, 3), 
	1 - e(4, 3, 8), 
	7 - e(3, 6, 8), 
	2 - e(2, 3, 2), 
	5 - e(2, 1, 7), 
	4 - e(1, 4, 4), 
	4 - e(1, 3, 4)
]
MinCuts = [[2, 5, 1]]
MinCutEdges = 
[
	[e(1, 4, 4), e(1, 3, 4), e(2, 3, 2)]
]
Yes (0.02s cpu)

最大フロー(最小カット)10、
ノード1-4、1-3、2-3　を結ぶエッジがスタート側とゴール側を結ぶ